文章目录
- Pi历史
- 为什么非要数那么多？
- 如果你能做到这一切会发生什么？
- 摘要
如果问你接触到的第一个数学常数是什么？想必很多人都会脱口而出:Pi！
没错，圆周率我们从小学就知道了。简单来说，无论多大的圆，都有一个共同点，那就是周长与直径之比是一个常数，就是圆周率，也是一个无理数，就是无限无环小数。
Pi历史
数学史上有很多关于计算圆周率的记载。对于我们来说，最熟悉的就是南北朝数学家“祖冲之算圆周率”。圆周率第一次精确到小数点后七位，这个记录比西方早了近千年。
但我们感兴趣的是祖冲之用了什么方法求圆周率？其实他用的方法是魏晋大数学家刘徽提出的“割圆法”。他书里的原话是:“你切得细，损失也小。如果你一次又一次地切割，以至于你不能切割，你会融入这个圈子，而不会失去任何东西。”
简单来说就是用多边形来近似圆。多边形的边越多，就越接近圆(在现代人看来，其本质就是微积分中的极限思想)。
环切本质上是一种几何方法，但随着数学的进步，出现了更方便、更精确的分析方法，比如无穷级数，给出了圆周率的很多数值表达式。
后来随着计算机的出现，圆周率计算中的位数直接成几何倍数增长。
例如，2021年8月5日，瑞士的研究人员宣布，他们使用了一台超级计算机，用了108天9个小时计算了圆周率的62.8万亿位小数。这是一个新的世界纪录，但他们也说这个纪录可能不会持续太久。
因为在此之前，2020年和2019年，有人分别创造了50万亿比特和31.4万亿比特的记录。2020年，一个爱好者用个人电脑，耗时303天，计算50万亿比特。2019年，谷歌的云计算系统用了121天计算了31.4万亿位，即小数点后31415926535897位，以纪念当年3月14日的国际圆周率日。
为什么非要数那么多？
如果说古代的数学家计算圆周率是为了寻找更多的数学性质，毕竟那时候的数学远没有现在的丰富和深刻。但从1761年开始，德国数学家兰伯特证明了圆周率是无理数(即无限无环小数)。
并且在1882年，同为德国数学家的林德曼证明了圆周率是一个超越数(即不能作为有理系数多项式的根的实数，由此可知在古希腊，用尺子和圆规是不可能“把圆变成正方形”的)。好像疯狂追求圆周率的位数也没用？
但自从计算机出现后，人们对圆周率位数的计算变得更加“疯狂”。为什么？是因为圆周率越精确，就越有利于科研或实际使用吗？不是，其实圆周率取几十位数的时候是很准确的。
但人们仍然计算圆周率的原因其实很简单:它可以在更短的时间内计算更多的位数。这种高精度的计算是判断一台计算机是否具有优秀处理能力的手段之一。
如果你能做到这一切会发生什么？
如果有一天圆周率被证明用尽了会怎么样？估计很多朋友都想过这个问题。
但实际上一般情况下不会出现这种情况，因为圆周率无理数的结论是通过严格的数学证明给出的。拔出萝卜带出泥。如果圆周率真的算出来，那将是数学大楼的大地震。(考虑到数学不同于自然科学，它不需要与客观世界相对应的物理存在，也就是说数学是一种普遍的东西)
但请注意，这个结论有一个前提，就是上一段所说的“通常情况”。那么这种通常的情况是什么呢？
欧氏与非欧几何
很简单，圆周率的值，也就是我们现在知道的3.14159，其实是建立在欧几里德的几何体系中的。
什么是欧几里得几何？很简单，就是我们中小学学过的几何，比如过一条直线，只能做一条平行线(平行公设)。
比如三角形的内角之和是180度等等。所有这些结论都是欧几里得几何。
但是随着数学的发展，人们发现虽然这种几何体系与现实世界非常一致，但似乎并不唯一。于是人们以平行公理为出发点，发现了两种新的几何(非欧几何)，即罗氏几何和黎曼几何。在这些几何图形中，三角形的内角之和不再是180度，圆周率也不再是固定值。
后来通过黎曼的努力，三种几何统一为黎曼几何，这也是后来爱因斯坦广义相对论要用到的数学概念。
为了形象地介绍圆周率在不同几何环境下的变化，下面是基于相对论对这个问题的解释。
爱因斯坦转盘内的圆周率
1909年，爱因斯坦的好朋友保罗·埃伦费斯特(paul ehrenfest)在《物理学杂志》上发表了一篇短短的论文，只有两页，题目是《刚体的匀速转动与相对论》(注意当时广义相对论还没有出现，只有狭义相对论)。
本文提出了这样一个“简单”的问题:如果有一个匀速旋转的圆盘，我站在外面用测量尺测量圆盘的周长，站在圆盘上用测量尺测量圆盘的周长。结果如何呢？
这个问题看起来很简单。根据狭义相对论，运动的物体会在运动方向收缩。也就是说，如果在圆盘静止时，在圆盘周围放置一圈测量刻度(比如一个测量刻度有一厘米长，就这样放在周围。当然测量刻度越短越好，这样会无限逼近圆周)。然后圆盘匀速旋转。由于移动标尺的收缩，圆盘上原本首尾相连的测量标尺实际上出现了/
注意，上面那段是笼统的说法，用于科普的时候是没有问题的。仔细研究的话应该会细分，但最后的结论是正确的，就是转台系统测得的周长比地面系统测得的周长大。(如果有懂相对论的朋友，应该熟悉下面给出的空之间的线元，这是结论的基础)
这时我们发现圆盘的周长变长了，但直径没有变化。那不是意味着圆周率变大了吗？此外，圆周率的值与转盘的速度有关。理论上圆周率可以直接换成整数！不过这并不奇怪，因为转盘空不再满足欧几里德几何的要求，而属于非欧几里德几何。
弯曲时空下的圆周率
其实按照广义相对论的要求，我们现实世界中圆周率的值其实不是3.14159…..因为现实世界中很难找到欧氏空空间。如果在欧几里德空空间中有一个物体，它不属于欧几里德空空间。
原因很简单，因为广义相对论把引力解释为时间空弯曲。在最简单的史瓦西时间空中，如果把空之间的线元素单独拿出来，会发现是这样的。
显然，如果画一个圆，半径方向上的空是非欧的，即半径是一个变量，与引力源的质量能量分布有关。因此，圆周率自然是一个变量。
摘要
由此可见，欧几里得几何中的圆周率是无法计算的，它是一个无理数。如果能算出来，那只能说明我们现在用的数学体系要修改了。
然而，非欧几何中的圆周率是非常不同的。能不能算，要看具体情况。简而言之，和非欧几何中三角形的内角之和不是180度是一样的。熟悉了之后，也就没什么奇怪的了，什么都不会发生。而且根据广义相对论，非欧几何符合真实宇宙，而欧几何只是非常接近真实宇宙。
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