文章目录
- 1司汤达的问题
- 2从实用的角度来看
- 3从操作逻辑的角度来看
- 4从几何角度来看
- 5无法证明的“负就是正”。
作者|吴大晓
来源|大小吴的数学课堂
这是每个上过中学的人都很熟悉的事实，但哪怕是很简单的“由负转正”，你有没有想过为什么？今天武大和武就来和大家探讨一下这个事情。
1司汤达的问题
普通人真的很容易把财产记为正，债务记为负。这种记录方法始于7世纪的印度，适用于加减法。比如有10元，花了12元。相应的公式是
这里对应的实际意义是“负债2元”。
但是，说到乘除法，就会出现一些不可思议的问题。12世纪，印度天文学家巴斯卡拉说，“财产和财产的乘积，债务和债务的乘积都是财产，财产和债务的乘积都是债务。”据他说，有。
这个公式是什么意思？恐怕没人能理解。18世纪伟大的数学家欧拉在他的《代数导论》一书中使用了同样的解释方法，这让很多数学学习者在第一次遇到负数乘法的问题时感到困惑。
《红与黑》的作者司汤达，19世纪法国批判现实主义作家，年轻时热爱数学，但也为“负是正”的问题所困惑。他在自传中写道:
似乎正是由于青春的单纯，我才认为数学不可能有虚假。但是，知道(负×负)=(正)没人证明(这是代数的基础之一)怎么办？当某人有负贷款时，为什么一万法郎的贷款乘以五百法郎的贷款会变成五百万法郎的财产…
事实上，司汤达提出了每个学习代数的人都必须问的问题，即为什么“负负正”？如何直观的理解这件事？
2从实用的角度来看
问题在于正数和负数的解释。仔细想想，恐怕没人能解释清楚什么是财产和债务，因为金额乘以金额是没有意义的。
对此，《古今数学思想》作者、美国数学史家、教育家m·克莱因(M. Klein)通过“债务模型”巧妙地解释了“负是正”的问题:
一个人每天负债5元，在给定日期(比如今天)三天后负债15元。如果将5元的债务记为，那么“每天负债5元，负债3天”可以用数学表示:
同样，每天负债5元。考虑到这个人三天前的财产，应该比今天的财产多15元。如果我们用3天前和每天的债务，那么他3天前的财产情况可以表示为
受此启发，我们还可以举“批改试卷”的例子来说明:
如果有同学在一次考试中出错，扣了5分，就会记为，对应的公式是:
这里1的实际意义是个错题。
换个说法，如果老师错了，那么显然这个同学扣的5分会加回来，分数是。1表示老师认可，那么对应的，表示老师认可错了，对应的公式是:
以上两个例子自然合理，可以帮助我们理解“消极就是积极”。
3从操作逻辑的角度来看
从运算逻辑的角度来看，负负也一定是正的，因为有理数的运算必须遵循乘除法则:
事实上，我们规定负数的运算仍然可以保持乘法和分配定律的结果，例如:
规则
根据乘法和分配定律，有
因为，对于，结果只能是1。
4从几何角度来看
假设、、和都是正数。如图，乘积表示的实际意义是以sum为两边的矩形(斜线阴影)的面积。
那么，这个矩形是如何变换的呢？事实上，它是由两边的大矩形组成的。先去掉标有水平线阴影的矩形区域，再去掉标有垂直线阴影的矩形区域。但是用双线阴影标注的矩形区域被删除了两次，所以必须放回去。因此:
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得到了负数相乘的符号法则。
5无法证明的“负就是正”。
事实上，以上一些看似合理的“负负正”的解释，充其量只是一些“解释”，并不能称之为严格的数学证明。尤其是上面那个“从几何角度看，负的就是正的”的例子。这个“论点”是错误的，因为它完全被忽略了。
公式之所以成立，取决于不等式，凌完全违背了这一点。
负数被人们接受花了很长时间。很难相信它们的合法性直到17世纪才被普遍认为是正整数。当有必要使用它们时，人们会犹豫不决，感到不安。数学家有时将负数称为虚数、虚数之类的数字。因为人性更倾向于依附于“具体”的东西，比如可数对象(正整数)。毫无疑问，负数的运算是抽象的。为此，人们曾多次试图证明符号定律，但都失败了。
对于数学家来说，花了很长时间才认识到“负的就是正的”，负数和分数所服从的其他定义是无法“证明”的。它们是我们为了在保持算术基本规律的同时使运算自如而创造出来的。可以证明的是，在这些定义的基础上，算术的交换律、结合律、分配律保持不变。
参考资料:
[1](日)元山七。数学与生活[M]。陆燕珊等译。人民邮电出版社，2014。
[2](美)r .库朗，h .罗宾。什么是数学——思想方法的基础研究[M]。复旦大学出版社，2012。
[3](德国)费利克斯·克莱因。高观初等数学(上册)——算术代数解析[M]。由舒、等译。复旦大学出版社，2008。
