文章目录
- 椭圆与圆的关系
- 椭圆的形状和方向
- 椭圆方程的推导
椭圆方程(椭圆的定义及其方程推导)
椭圆与圆的关系
圆形是一种非常简单且对称的图形。它是由平面上离圆心有恒定距离的所有点组成的图形。椭圆是圆的定义的延伸。它是一个图形，由平面上两点间距离之和固定的所有点组成。这两点叫做焦点，两点之间的距离叫做焦距。当两个焦点重合时，椭圆就变成了圆。
假设有一根绳子，它的两端是固定的，绳子的长度超过了两个固定点之间的距离。拿一支笔把绳子拉直，这支笔绕一圈画出的图形轨迹是一个椭圆，固定的两端是椭圆的焦点。
椭圆的形状和方向
椭圆是一个平面图形，我们通常试图建立一个坐标系来表示它。椭圆的定义中没有规定两个焦点的位置和方向，因此可以改变椭圆的大小、位置和方向。由于椭圆是对称图形，它同时满足轴对称和中心对称。因此，为简单起见，通常选择原点作为椭圆的对称中心，取两个轴作为椭圆的对称轴。那么椭圆的焦点应该是轴上的两个对称点。
给定上述条件，求解椭圆方程并不困难。接下来我将给出焦点在X轴上的椭圆方程的求导。
椭圆方程的推导
以X轴上的两点A(-c，0)和B(c，0)为焦点，求两点间距离为2a的椭圆方程。
假设椭圆上任意一点的坐标为C(x，y)，则
双边联合简化
根据椭圆的定义，a>c，则
所以假设。
这时，椭圆方程可以简化为
这就是焦点在x轴对称点上的椭圆标准方程。
